Dos juegos de fusión, una pregunta: ¿se puede jugar alguno de ellos sin fallos? La respuesta pasa por la esquina de un tablero, un oponente que nunca llega y un número de diecisiete exponentes de altura.
Redactado y editado en inglés. Esta versión en español se ha generado mediante traducción automática; cuando la precisión importe, la versión de referencia es el original en inglés. Leer el original en inglés →
Empecemos por el juego que todo el mundo conoce. 2048, cuatro direcciones, una cuadrícula de 4×4, fichas que se duplican al tocarse, es, estrictamente hablando, un problema sin resolver. Nadie ha escrito un algoritmo que lo juegue a la perfección. Lo que tenemos son aproximaciones muy sólidas. Una búsqueda expectimax, que mira unas ocho jugadas por delante y evalúa cada tablero mediante un puñado de heurísticas ajustadas a mano, casillas libres, fichas grandes ancladas en un borde, suavidad, alcanza la ficha de 32768 en menos de un tercio de sus partidas, 1 y el motor público más potente toca la ficha de 65536 un par de veces por ciento. 2 Generalizado a un tablero m×n, solo decidir si una ficha objetivo es alcanzable es NP-duro. 3 Ser fuerte no es lo mismo que estar resuelto.
¿Hasta dónde puede subir una sola ficha? En dieciséis casillas, la respuesta es una pequeña y elegante pieza de conteo. Coloca el tablero como una escalera descendente, 65536, 32768, 16384, bajando hasta un 2 solitario. Cada ficha es exactamente una potencia de dos menor que su vecina, por lo que las dieciséis potencias distintas, de 21 a 216, llenan el tablero a la perfección, y 65536 = 216 se sitúa en la cima: un exponente por casilla. Ese es el límite si el juego solo te da 2. Pero 2048 genera un 4 una vez cada diez, y un 4 oportuno introduce un decimoséptimo exponente, elevando el máximo real a 131072 = 217, diecisiete fichas de potencias apretadas en dieciséis casillas. 4 Ningún humano lo ha construido; algunas IA lo han rozado.
¿Por qué estos tableros premian meter tu ficha más grande en una esquina? Una ficha en el centro puede ser empujada en cuatro direcciones, y sigue separándose de las fichas con las que quiere fusionarse. Una ficha en la esquina toca dos paredes; solo se mueve cuando empujas hacia paredes que ya abraza, por lo que permanece quieta mientras todo se organiza a su alrededor. Encadena el resto en una serpiente monótona, la más alta en la esquina, doblando hacia adelante y hacia atrás en orden descendente, y un solo deslizamiento puede desencadenar una cascada de fusiones. 1 Esta es la heurística que domina el juego humano casual, y es casi exactamente lo que las IA redescubren cuando les dejas ajustar sus propios pesos.
Un juego de fusión con apariciones aleatorias no tiene oponente, solo clima. "Resolverlo" es vencer a los dados en promedio, no vencer a una mente.
Ahora inclina el tablero hacia tres dimensiones. 3927 es el primo cúbico de 2048: una retícula de 3×3×3 con 27 casillas, seis direcciones de desplazamiento en lugar de cuatro, y fichas que se fusionan de tres en tres, de 3 a 9 a 27 a 81, base tres donde 2048 es base dos. 5 ¿Sobrevive el apilamiento en la esquina a la dimensión extra? Un cubo tiene ocho esquinas, y una casilla en la esquina ahora toca tres caras en lugar de dos, debería ser aún más estable, anclada por tres paredes a la vez, aunque las seis direcciones dan al tablero más formas de desmontar tu estructura. La serpiente se convierte en un camino plegado que atraviesa las tres capas. Por lo que puedo encontrar, nadie ha averiguado si la analogía se sostiene realmente, razonamiento, no medición.
¿Y el límite? La regla de un exponente por casilla sugeriría 327 ≈ 7,6 billones como un límite superior laxo. Pero la analogía se deshilacha mal. El exponente extra de 2048 vino de un 4 afortunado; 3927 solo genera la ficha más pequeña, un 3 desnudo, por lo que no hay bonificación. Peor aún, una fusión triple necesita tres fichas alineadas en una línea, y cada fila, columna y pilar en un cubo de 3×3×3 tiene exactamente tres casillas de largo, por lo que cada fusión consume una línea entera. Esa restricción muerde mucho más fuerte que cualquier cosa en el juego plano y casi seguro arrastra el máximo real muy por debajo de 327. Cuál es ese número verdadero, no he encontrado que esté calculado en ninguna parte. (Razonamiento claramente etiquetado; la mecánica anterior está medida desde los documentos de diseño del juego.)
Aquí está el matiz que hace que el "juego perfecto" sea resbaladizo. Un juego de fusión con apariciones aleatorias es un juego estocástico de un solo jugador, un solitario contra un dado, no un duelo. Nada elige la peor aparición para arruinarte; solo hay el RNG, indiferente. Por lo tanto, la noción correcta de juego óptimo es expectimax: maximizar el resultado esperado sobre la distribución de apariciones. Es enfáticamente no minimax, minimax presupone un adversario, y si dejas que uno coloque cada ficha ("2048 maligno"), el juego se convierte en algo más cruel donde puedes ser forzado a perder. Porque los dados pueden en principio repartir cualquier secuencia, una estrategia que garantice una ficha dada puede simplemente no existir. Así que la respuesta honesta a "¿hay una estrategia perfecta?" es que para un juego estocástico lo mejor que se puede definir es una mejor en promedio, y calcularla exactamente está fuera de alcance para 2048 6 y muy abierta para 3927.