La eficiencia oculta de la base tres, y si un juego construido sobre ella es, en silencio, la máquina más elegante.
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3927 es 2048 reconstruido en tres dimensiones y con otra aritmética. El tablero es un cubo de 3×3×3, veintisiete casillas, y empujas el cubo entero a lo largo de cualquiera de seis direcciones. Cuando chocan tres fichas de igual valor, no se duplican: se triplican. Un tres se convierte en un nueve, un nueve en un veintisiete, y así sucesivamente: 81, 243, 729. El propio nombre cuenta hacia arriba las tres primeras fichas, 3·9·27, y todo en el diseño son treses hasta el fondo: tres por eje, tres para una fusión, tres como factor de crecimiento. 4
Su ancestro es obstinadamente binario. El 2048 clásico opera con potencias de dos, 2, 4, 8, 16…, y fusiona fichas en pares. Dos es el número del lanzamiento de moneda, del transistor, del bit. Así que la pregunta natural que se hace un jugador curioso es si intercambiar el dos por el tres es mera novedad, o si el tres ocultaba una ventaja real todo este tiempo. Resulta que las matemáticas tienen una opinión, y esa opinión es sorprendentemente firme.
Imagina que debes construir una máquina que almacene números. Cada posición de dígito te cuesta algo, una rueda, un cable, un tubo, y ese coste escala con la base, porque un dígito en base b necesita b estados distinguibles. Pero una base mayor también significa que necesitas menos dígitos para alcanzar cualquier número dado. Aquí hay una tensión, y tiene nombre: la economía de la base.
Formalmente, la economía de representar un número N en base b es la base por el número de dígitos, E(b,N) = b ⌊logb N + 1⌋. 1 Una base grande te compra números cortos pero dígitos caros; una base pequeña es barata por dígito pero se desparrama. En algún punto entre los dos extremos se sienta un óptimo, y no es donde aterrizó la mayor parte de nuestra tecnología.
| Base | b ÷ ln b | vs. óptimo |
|---|---|---|
| 2 | 2.885 | +6.2% |
| 3 | 2.731 | +0.5% |
| e ≈ 2.718 | 2.718 | óptimo |
| 10 | 4.343 | +59.8% |
Para N grandes, la economía se comporta como (b ÷ ln b) · ln N, de modo que la eficiencia de una base descansa por completo en el factor b ÷ ln b. Minimízalo con un poco de cálculo y la respuesta es exacta y extraña: la base más económica de todas es e, aproximadamente 2,71828. 1 No puedes construir un ordenador con 2,718 estados por dígito, claro. Pero sí puedes preguntar qué número entero se sitúa más cerca de ese ideal, y el ganador, que bate tanto al dos como al diez, es el tres.
La brecha no es académica. La base tres se sitúa dentro del medio por ciento del óptimo teórico, mientras que la binaria paga un recargo del seis por ciento y la decimal un aplastante sesenta. Una forma concreta de sentirlo: para escribir todos los números desde 0 hasta 999.999, la binaria necesita 20 dígitos, la decimal necesita 6, pero la ternaria solo necesita 13, y 13×3 es un total menor que 20×2. 1 El tres realmente empaqueta más conteo en menos estructura.
Se le pidió a la naturaleza que nombrara la forma más eficiente de contar, y respondió con un número irracional. El número entero más cercano a esa respuesta es el tres.
Esto no es solo una curiosidad de los libros de texto. En 1958, en la Universidad Estatal de Moscú, un equipo dirigido por Nikolay Brusentsov y el matemático Sergei Sobolev construyó el Setun, el ordenador ternario más famoso jamás fabricado. 3 Mientras Occidente apostaba por los bits, el Setun contaba en trits, y usaba un esquema especialmente hermoso: el ternario balanceado, cuyos tres valores de dígito no son 0, 1, 2 sino −1, 0, +1. 2
La simetría da sus frutos inmediatamente. Un número lleva su propio signo, sin bit de signo separado, sin contorsiones de complemento a dos, y para negar cualquier valor simplemente inviertes cada dígito. El redondeo y la truncación se convierten en la misma operación. Donald Knuth lo juzgó "quizás el sistema de números más bonito de todos". 2 Brusentsov, sin transistores, logró tres estados estables a partir de pares de núcleos de ferrita; se construyeron aproximadamente cincuenta Setuns, la mayoría enviados para enseñar matemáticas en las universidades soviéticas. 3 La máquina funcionaba, era barata y estaba, en silencio, por delante de sus vecinos.
Aquí es donde un escritor cuidadoso debe resistirse a sí mismo. La economía de la base es una afirmación sobre el almacenamiento y procesamiento de números bajo supuestos de coste específicos, e incluso los matemáticos señalan que esos supuestos son solo aproximados; una contabilidad más completa a menudo vuelve a justificar la binaria, razón por la cual el mundo funciona con ella. 1 Un puzzle de fusiones no es un banco de memoria; nadie minimiza el recuento de tubos durante un descanso de café. Así que 3927 no es "más eficiente" en ningún sentido de ingeniería estructural, y sería hacer trampa decirlo.
Y sin embargo. El juego hereda algo verdadero. El crecimiento por triplicación alcanza números grandes en menos jugadas, más decisivas; cada fusión realiza más trabajo, y un cubo de 3×3×3 es el tablero más pequeño que permite que la fusión de tres vías respire en todas las direcciones. 4 El diseño no tropezó con el tres, aterrizó en el entero que las matemáticas del conteo han preferido en silencio durante un siglo, el que los ingenieros del Setun eligieron a propósito. Dos es el número al que nos decantamos por defecto. Tres es el número que habríamos elegido si la eficiencia, y no el lanzamiento de moneda, hubiera tenido la última palabra. Que las fichas acaben deletreando 3, 9, 27 es una pequeña broma que el universo ya estaba contando.
Game facts, the 3×3×3 board, six shift directions, three-tile ×3 merge, and the 3·9·27 naming, are measured from the game's design documents. Mathematical and historical claims are drawn from the references below.