El tablero diario tiene siete fichas de ancho y siete de alto. Parece pequeño. Luego cuentas de cuántas maneras se puede girar, y el número deja de parecer pequeño en absoluto.
Redactado y editado en inglés. Esta versión en español se ha generado mediante traducción automática; cuando la precisión importe, la versión de referencia es el original en inglés. Leer el original en inglés →
Cada ficha de Conduit tiene cuatro orientaciones posibles: girada cero, uno, dos o tres cuartos de vuelta desde donde está. 1 Si das a cada una de las cuarenta y nueve casillas de la cuadrícula diaria una elección independiente entre esas cuatro, el número de estados distintos del tablero es 449. Escrito en cifras, son 316.912.650.057.057.350.374.175.801.344, más de trescientos mil cuatrillones de configuraciones, de las cuales el juego te pide que encuentres una que esté completamente iluminada y sin fugas.
La mezcla que te sirve un puzle elige, para cada ficha, un número aleatorio de cuartos de vuelta, de cero a tres. 1 Así que el tablero que te encuentras se extrae uniformemente de ese espacio enorme, menos una exclusión cuidadosa que hace el juego para no servirte una cuadrícula ya resuelta. 1 La fuerza bruta queda descartada: las propias pruebas del juego señalan que probar las cuatro rotaciones de cada ficha es exponencial, y solo ejecutan la búsqueda exhaustiva en tableros de juguete de nueve casillas o menos. 2
Esa cifra de titular cuenta de más, porque a algunas fichas les da igual cómo las gires. Una cruz, con conectores en los cuatro lados, se ve idéntica en las cuatro orientaciones; girarla no cambia nada. Una línea recta solo tiene dos aspectos distintos, horizontal y vertical, porque media vuelta la lleva sobre sí misma. Solo las formas asimétricas, el codo, la tee y el extremo de un solo conector, tienen de verdad las cuatro orientaciones distintas. 3
| Forma | Conectores | Giros distintos | Simetría |
|---|---|---|---|
| Extremo (nodo/bombilla) | 1 | 4 | ninguna |
| Línea | 2 | 2 | media vuelta |
| Codo | 2 | 4 | ninguna |
| Tee | 3 | 4 | ninguna |
| Cruz | 4 | 1 | total |
Las formas reciben su nombre en las notas de diseño del juego; los recuentos de orientaciones distintas se deducen de que la máscara de conectores de cuatro bits no cambia bajo las rotaciones indicadas. 3 El espacio de búsqueda efectivo es menor que 449 exactamente en el producto de estas simetrías por ficha, pero en cualquier tablero con una mezcla sana de codos y tees sigue siendo astronómicamente grande.
Da la vuelta a la pregunta. Olvida las orientaciones que podrías probar; pregunta cuántos tableros resueltos son posibles, para empezar. Una cuadrícula de Conduit terminada es un conjunto de tuberías que está conectado, al que la energía llega a cada ficha y que no tiene ningún bucle desperdiciado, porque lo que el generador construye es un árbol generador: conectado, acíclico, un solo camino desde la fuente hasta cada nodo. 3 Cada uno de esos cableados es, precisamente, un árbol generador del grafo de la cuadrícula, donde los vértices son las casillas y las aristas son los bordes compartidos que una tubería puede salvar.
Y los árboles generadores se pueden contar con exactitud. El teorema matriz-árbol de Kirchhoff, un resultado de 1847, dice que el número de árboles generadores de cualquier grafo es igual a cualquier cofactor de su matriz laplaciana, un determinante que puedes calcular en tiempo polinómico. 4 En las cuadrículas la cuenta se dispara con el tamaño: una humilde retícula de 4×4 ya tiene 100.352 árboles generadores, y a partir de ahí el número trepa con ferocidad. Cada uno de ellos es una solución legítima de Conduit, completamente iluminada. El puzle es difícil no porque las respuestas escaseen, sino porque están escondidas entre una multitud mucho mayor de casi respuestas.
Los estados resueltos se pueden contar y son muchos; los estados mezclados se pueden contar y son muchísimos más. Resolver es buscar una aguja que sabes que existe, porque el juego la escondió ahí a propósito.
Podrías esperar que el puzle se descompusiera: fijas la esquina superior izquierda, luego la ficha de al lado, y avanzas en orden hasta la esquina opuesta. A veces un tramo del tablero sí cede a eso. Una ficha de esquina solo tiene dos lados que tocan a vecinas, así que sus conectores están muy restringidos; una ficha de extremo situada en el borde solo puede apuntar hacia dentro. Estas jugadas forzadas dan puntos de apoyo.
Pero las dos condiciones de victoria no se encadenan tan dócilmente. Sin fugas es una propiedad local: puedes comprobarla lado a lado. Con energía no lo es: que una ficha esté iluminada depende de una cadena ininterrumpida de uniones que llegue hasta la fuente, posiblemente a través de todo el tablero. 3 Un cambio que hagas en una esquina puede sumir en la oscuridad una región lejana al romper el único camino que la alimentaba. Ese acoplamiento, el destino de cada ficha potencialmente ligado a una ruta por toda la cuadrícula, es lo que impide que un puzle de rotación se reduzca a una contabilidad fácil, y es la razón de que los solucionadores de la familia más amplia Net/Pipes (los puzles de tuberías) se apoyen en la propagación de restricciones y la búsqueda, en lugar de en un simple barrido de izquierda a derecha. 5
Con toda la vastedad del espacio de estados, la cantidad con la que Conduit te califica es diminuta y humana: cuántas veces has tocado. La puntuación es 1000 − 4 × movimientos − 2 × segundos, con un mínimo de cero. 3 Para cualquier tablero dado hay un número mínimo teórico de rotaciones, la suma, sobre todas las fichas, del menor número de cuartos de vuelta necesarios para alcanzar una orientación resuelta, y cada giro de más te cuesta cuatro puntos, y cada segundo de inactividad, dos.
Así que el juego real se sitúa entre dos hechos enormes y uno pequeño. El pajar tiene 449 orientaciones de ancho; las agujas son los muchos árboles generadores de la cuadrícula; y tu trabajo es ir del uno a las otras usando la única jugada legal el menor número de veces que consigas. La combinatoria garantiza que ahí dentro hay una respuesta. La puntuación te reta en voz baja a encontrarla sin dar rodeos. 4